کتاب Math for Programming

برنامه‌نویسی، هنر تبدیل فکر به کد برای رسیدن به هدفی مطلوب است. این کتاب با بررسی ریاضیاتی که اغلب در زیر سطح، و گاهی آشکارا، وجود دارد، در پی بهبود این فرآیند است.

مباحث مورد بحث در این کتاب، نسخه‌ی فشرده‌ای از ریاضیات مورد نیاز برای اکثر رشته‌های علوم کامپیوتر در مقطع کارشناسی است. این مباحث، مفاهیم بنیادی از نظریه مجموعه‌ها تا ریاضیات گسسته و جبر خطی (ضروری برای هوش مصنوعی مدرن) و حساب دیفرانسیل و انتگرال را در بر می‌گیرد.

در تمام طول کتاب Math for Programming، تعادلی بین ریاضیات و نحوه استفاده برنامه‌نویسان از آن از طریق مثال‌هایی در پایتون، C و سایر زبان‌های مناسب ارائه شده است. اغلب، نمونه‌های کد مستقیماً به مسائل روزمره کدنویسی مرتبط هستند.

در حالی که می‌توان بدون دانش عمیق ریاضی، یک کدنویس خوب بود، من معتقدم که چنین دانشی شما را به یک کدنویس حتی بهتر تبدیل خواهد کرد. ریاضیات دومین سیستمی است که توسط انسان برای رمزگذاری و دستکاری الگوها ابداع شده است. زبان، اولین سیستم است.

برنامه‌نویسی نیز یکی دیگر از این سیستم‌ها است، مسلماً سومی. ریاضیات و برنامه‌نویسی به هم وابسته‌اند. مهارت‌های آموخته شده در یک حوزه به حوزه دیگر منتقل می‌شود. تفکر منطقی، حل مسئله و استدلال انتزاعی برای هر دو اساسی است.

به عنوان یک کدنویس، در نهایت با الگوریتم‌ها و ساختارهای داده‌ای مواجه خواهید شد که برای درک خوب آنها به پایه ریاضی قوی نیاز دارید. در واقع، برای چندین دهه، علوم کامپیوتر بخشی از گروه ریاضیات بود. علوم کامپیوتر نظری تا به امروز یک رشته کاملاً ریاضی باقی مانده است.

من هرگز تجربه نکرده‌ام که دانش کسب شده هدر برود. هر چیزی که از نظر آکادمیک آموخته‌ام، در مقطعی به کارم آمده است، حتی اگر سال‌ها یا دهه‌ها بعد، ناگهان در حوزه‌ای که شاید از جایی که برای اولین بار آن را یاد گرفتم، فاصله داشته باشد، کاربرد پیدا کند. اما از بین همه آن مفاهیم، مفاهیم ریاضی مفیدترین آنها بوده‌اند. امیدوارم در پایان کتاب Math for Programming، شما هم موافق باشید.

کتاب Math for Programming برای چه کسانی است؟

این کتاب برای همه برنامه‌نویسان است، برای هر کسی که برای تبدیل فکر به کد می‌نشیند. ممکن است در ابتدای سفر برنامه‌نویسی خود باشید، یا ممکن است یک برنامه‌نویس باتجربه با سال‌ها (و سال‌ها) تجربه برنامه‌نویسی باشید.

صرف نظر از این، شما چیزی در اینجا پیدا خواهید کرد، مقداری دانش ریاضی، که به شما در حل یک مشکل کمک می‌کند یا چیزی را که زمانی می‌دانستید، در گذشته‌ای تاریک، اما به نوعی در طول مسیر گم کرده‌اید، به شما یادآوری می‌کند.

چه چیزهایی را باید از قبل بدانید؟

پیش نیازهای کتاب Math for Programming حداقل است. نمونه‌های برنامه‌نویسی عمدتاً در پایتون هستند. برخی در C برای ارائه دیدگاه جایگزین هستند و تعداد کمی در زبان‌های دیگر مانند Scheme. آشنایی با حداقل یکی از این زبان‌ها در سطح مبتدی مفید است.

پیشینه ریاضی شما باید تا سال اول جبر باشد، اگرچه برخی از مباحث مثلثات در اینجا و آنجا وارد می‌شوند. کتاب Math for Programming، ریاضیاتی را آموزش می‌دهد که برنامه‌نویسان آن را ارزشمند می‌دانند، ریاضیاتی که معمولاً در سطح دبیرستان تدریس نمی‌شود.

من فرض نمی‌کنم که شما از قبل می‌دانید که امیدوارید چه چیزی یاد بگیرید. حتی اگر ریاضی در مدرسه چیز شما نبود (یک اتفاق رایج)، انتظار دارم که ارائه و مباحث اینجا را جالب بیابید.

چه چیزی می‌توانید انتظار داشته باشید که یاد بگیرید؟

پاسخ کوتاه: چیزهای زیادی که عملاً مفید هستند. در اینجا خلاصه‌ای از مطالب ارائه شده در کتاب Math for Programming، فصل به فصل آمده است:

فصل 1: کامپیوترها و اعداد، دانش در مورد نحوه نمایش و دستکاری اعداد توسط کامپیوترها ضروری است. در تجربه من، بسیاری از مهندسان نرم‌افزار از این موضوع عبور می‌کنند، که تاسف‌بار است و منجر به بسیاری از شکست‌های نرم‌افزاری شده است. این فصل پایه‌ها را می‌گذارد.

فصل 2: مجموعه‌ها و جبر انتزاعی، ریاضیات مدرن بر اساس نظریه مجموعه‌ها است. این فصل از کتاب Math for Programming، مجموعه‌ها و جبر انتزاعی روی مجموعه‌ها را معرفی می‌کند. در حالی که ریاضی است، این موضوع نیز اساسی و سرگرم کننده است. مجموعه‌ها و مفاهیم جبر انتزاعی به طور مداوم در سراسر کتاب Math for Programming ظاهر می‌شوند.

فصل 3: جبر بولی، کامپیوترها مجموعه ای از مدارهای دیجیتال هستند و مدارهای دیجیتال تجلی جبر بولی، ریاضیات درست و نادرست هستند. مانند نمایش اعداد، برنامه نویسان باید درک کنند که سخت افزار کامپیوتر از چه چیزی تشکیل شده است، حتی اگر فقط در سطحی سطحی باشد.

فصل 4: توابع و روابط، کامپیوترها اعدادی را دستکاری می‌کنند که در نهایت عناصر مجموعه‌های محدود هستند. بنابراین، توابع و روابط روی مجموعه‌ها، نان و کره کاری است که یک کامپیوتر انجام می‌دهد. توابع کلی تر از آن چیزی هستند که در مدرسه در مورد آن یاد گرفتیم.

فصل 5: استقرا، این فصل از کتاب Math for Programming، اثبات‌های استقرایی را معرفی می‌کند، اما نترسید. این تنها فصلی است که از اثبات‌های ریاضی استفاده می‌کند. منطق پشت اثبات‌های استقرایی به طور مکرر در برنامه نویسی استفاده می‌شود، حتی اگر به صراحت به این عنوان نامیده نشود.

فصل 6: عود و بازگشت روابط عود، شکلی ریاضی از تکرار هستند، که در آن عنصر بعدی در یک دنباله از عناصر قبلی ساخته می‌شود. بازگشت گام طبیعی بعدی پس از روابط عود است. بازگشت یک تکنیک برنامه نویسی اساسی است، تکنیکی که ظریف، قدرتمند و در ابتدا جادویی است.

فصل 7: نظریه اعداد، نظریه اعداد، عزیز دردانه ریاضیات است. آیا مفید است؟ گاهی اوقات. آیا سرگرم کننده است؟ همیشه. این فصل به بررسی نظریه اعداد، با شروع از اعداد اول، تقسیم پذیری و حساب پیمانه‌ای می‌پردازد. موضوع دوم به طور گسترده در علوم کامپیوتر استفاده می‌شود، زیرا در نهایت، حساب با دقت محدود در یک کامپیوتر، حساب پیمانه‌ای در لباس مبدل است.

فصل 8: شمارش و ترکیبات، ما از بچگی شمارش را بلد بوده‌ایم، اما در شمارش و درک چگونگی ترکیب و جایگشت عناصر یک مجموعه، چیزهای بیشتری از آنچه در نگاه اول به نظر می‌رسد وجود دارد. همه برنامه نویسان باید یاد بگیرند که مفهوم انفجار ترکیبی را که باعث می‌شود بسیاری از الگوریتم‌های به ظاهر مفید پس از همه موارد به جز ساده‌ترین آنها از بین بروند، درک کنند.

فصل 9: گراف‌ها، گراف‌ها مجموعه‌هایی از گره‌ها (عناصر یک مجموعه) و رأس‌ها (اتصالات بین گره‌ها) هستند. چنین ساختار کلی به طور مکرر در علوم کامپیوتر ظاهر می‌شود، و این کار را می‌کند: به عنوان ساختارهای داده، نمایش‌های دانش و نمایش تقریباً هر داده و روابط بین داده‌ها. این فصل از کتاب Math for Programming، مفاهیم اصلی گراف و الگوریتم‌هایی مانند جستجوی عمقی و جستجوی سطح اول را معرفی می‌کند.

فصل 10: درختان، درخت، برای یک دانشمند کامپیوتر، نوع خاصی از گراف است، گرافی که فوق العاده مفید است، حتی اگر اغلب در ساختارهای داده ذاتی پخته شده در زبان‌های برنامه نویسی مدرن و کتابخانه‌های استاندارد دفن شده باشد. الگوریتم‌های درختی، که اغلب بازگشتی هستند، ظریف هستند و ارزش یادگیری را دارند.

فصل 11: احتمال، مکانیک کوانتومی به ما می‌آموزد که جهان در نهایت یک موتور احتمال است. اندازه گیری یک سیستم کوانتومی؟ احتمالات جاسازی شده در تابع موج سیستم، نتایج ممکن را تعیین می‌کند. مفاهیم احتمال برای درک داده‌ها در دنیای مدرن و مهمتر از آن برای ما، به عنوان پیش زمینه‌ای برای کار با توزیع‌های احتمال، یک مفهوم اساسی در پشت نمایش داده‌ها، انتظار هنگام نمونه‌برداری و تولید اعداد شبه تصادفی ضروری است.

فصل 12: آمار، آمار، ریاضیات معنا بخشیدن به مجموعه داده‌ها است و به اندازه احتمال برای درک دنیای مدرن اساسی است. در واقع، احتمال مجموعه داده‌هایی را ایجاد می‌کند که آمار به آنها معنا می‌دهد. انقلاب هوش مصنوعی تنها به ضرورت تفکر آماری افزوده است. این فصل در را باز می‌کند.

فصل 13: جبر خطی، جبر خطی شاخه ای وسیع و قدرتمند از ریاضیات است. این فصل از کتاب Math for Programming، مفاهیم بنیادی، مانند بردارها و فضاهای برداری را معرفی می‌کند و سپس آنها را به دستکاری آرایه‌های یک و دو بعدی در کد مرتبط می‌کند. سیستم‌های هوش مصنوعی مدرن، که همه برنامه نویسان به زودی نیاز به تعامل با آنها خواهند داشت، به شدت از مفاهیم جبر خطی، به ویژه حساب بین بردارها و ماتریس‌ها استفاده می‌کنند.

فصل 14: حساب دیفرانسیل، فیزیک، حداقل تا دهه‌های اولیه قرن بیستم، کاربرد «حساب دیفرانسیل و انتگرال» در پدیده‌های طبیعی بود. حساب دیفرانسیل و انتگرال، که دستاورد تاجگذاری ریاضیات قرن هفدهم است، به دو شاخه تقسیم می‌شود. این فصل از کتاب Math for Programming، با معرفی حساب دیفرانسیل، ریاضیات نرخ‌ها و شیب‌ها آغاز می‌شود.

آموزش یک شبکه عصبی نیاز به دست و پنجه نرم کردن با حساب دیفرانسیل دارد. خوشبختانه، این فصل از کتاب Math for Programming، به شما می‌آموزد که مشتقات، کاربرد مکرر مجموعه‌ای کوچک از قوانین هستند.

فصل 15: حساب انتگرال، حساب انتگرال دومین شاخه حساب دیفرانسیل و انتگرال، ریاضیات مساحت زیر منحنی‌ها است. قرن‌ها ترفندها و تکنیک‌ها برای یافتن انتگرال‌ها (پادمشتق‌ها) توابع توسعه یافته‌اند. ما به عنوان برنامه نویس، علاقه کمتری به تسلط بر این تکنیک‌ها داریم، اگرچه این فصل به بررسی برخی از آنها می‌پردازد.

در عوض، ما بر رویکردهای عددی برای ارزیابی انتگرال‌های معین تمرکز می‌کنیم، که نه تابع دیگری، بلکه عددی را نشان می‌دهد که مساحت زیر منحنی را از a تا b نشان می‌دهد. این فصل چندین تکنیک از این قبیل را معرفی می‌کند.

فصل 16: معادلات دیفرانسیل، معادلات دیفرانسیل شامل یک متغیر مستقل، x. یک متغیر وابسته، y. و مشتقات y نسبت به x هستند. هدف سنتی حل یک معادله دیفرانسیل، یافتن تابعی است که معادله دیفرانسیل را برآورده کند. فیزیک و مهندسی مملو از معادلات دیفرانسیل هستند، بنابراین این موضوع ارزش مطالعه ما را دارد.

خوشبختانه برای ما، مانند ادغام، چند تکنیک عددی ما را برای غلبه بر اکثر معادلات دیفرانسیل که به عنوان کدنویس با آنها مواجه می‌شویم، مسلح می‌کند. این فصل از کتاب Math for Programming، مفاهیم اساسی را معرفی می‌کند و سپس چهار مثال کار شده را برای نشان دادن رویکرد عددی ارائه می‌دهد.