کتاب Galois Theory

کتاب Galois Theory, 5th Edition (نظریه گالوا، ویرایش پنجم) در 26 فصل تئوری گالوا را به صورت مفصل شرح می‌دهد.

در ادامه مقدمه‌ای از کتاب Galois Theory را از زبان نویسنده شرح خواهیم داد.

مقدمه‌ای بر کتاب Galois Theory:

اولین نسخه از نظریه Galois در سال ۱۹۷۳ ظاهر شد. ویرایش‌های جدید تغییرات مختلفی را ارائه کردند، به‌ویژه نسخه سوم کتاب Galois Theory، که با استفاده از زیرشاخه‌های اعداد مختلط آغاز شد.

این تغییر به گونه‌ای انجام شد که دانش‌آموزان بتوانند‌ایده‌های اصلی نظریه گالوا را بدون درگیر شدن در مقدار زیادی از مطالب پیش‌زمینه جبر انتزاعی درک کنند.

هر کسی که درمان انتزاعی را ترجیح می‌دهد می‌تواند این مطلب مقدماتی را حذف کند. این تصمیم یک سازش بود و با استقبال متفاوتی روبرو شد.

پس از مشورت گسترده با ریاضیدانانی که دروس را با استفاده از کتاب تدریس می‌کردند، این ساختار دو مرحله‌ای را حفظ کردم.

از آنجایی که پنج پیشگفتار بیش از حد به نظر می‌رسد، این یکی با عصاره‌های ویرایش شده از پیشگفتار‌های قبلی آغاز می‌شود. سپس تغییرات ایجاد شده برای این نسخه از کتاب Galois Theory را خلاصه می‌کنم.

چاپ اول و دوم کتاب Galois Theory

نظریه گالوا نمایشی از وحدت ریاضی است که چندین شاخه مختلف موضوع را گرد هم می‌آورد و ماشینی قدرتمند برای مطالعه مسائل با اهمیت تاریخی و ریاضی قابل توجهی ایجاد می‌کند.

موضوع اصلی، کاربرد گروه گالوا در معادله پنجاهی است. و همچنین رویکرد سنتی از طریق معادله چند جمله‌ای «عمومی»، من یک رویکرد مستقیم را گنجانده‌ام که حل نشدن رادیکال‌های یک چند جمله‌ای پنج‌جمله‌ای خاص را با ضرایب صحیح نشان می‌دهد، که نتیجه قانع‌کننده‌تری است.

موضوعات دیگر عبارتند از عدم امکان کپی کردن مکعب، سه برش زاویه، و مربع کردن دایره. ساخت چند ضلعی‌های منظم؛ حل معادلات مکعب و کوارتیک؛ ساختار میدان‌های محدود؛ و \”قضیه بنیادی جبر\”.

برای اینکه درمان تا حد امکان خودکفا باشد و تمام مطالب مربوطه را در یک جلد گرد هم بیاورم، چندین انحراف را آورده‌ام. مهمترین آن‌ها اثباتی بر ماورایی π است که همه ریاضیدانان باید حداقل یک بار در زندگی خود آن را ببینند.

بحثی در مورد اعداد فرما وجود دارد، تا تأکید شود که مشکل چندضلعی‌های منظم، اگرچه به یک سؤال ساده در نظریه اعداد خلاصه می‌شود، به هیچ وجه به طور کامل حل نشده است. ساختاری برای ۱۷‌گون معمولی داده شده است، به این دلیل که چنین نتیجه غیر شهودی به چیزی بیش از اثبات وجود نیاز دارد.

بیشتر انگیزه این موضوع تاریخی است و من از این فرصت استفاده کرده‌ام و در صورت لزوم، نظرات تاریخی را در بدنه کتاب گنجانده‌ام. دو بخش از موضوع کاملاً تاریخی وجود دارد: طرحی کوتاه از تاریخ چندجمله‌ای‌ها و زندگی‌نامه اواریست گالوا. دومی از منابع متعددی که در منابع ذکر شده است، جمع‌آوری شده است.

متن شامل مثال‌های زیادی است که نظریه عمومی را نشان می‌دهد، و حدود دویست تمرین، با بیست تمرین سخت‌تر برای دانش‌آموزان پیشرفته‌تر یا جاه‌طلب‌تر، وجود دارد.

چاپ سوم و چهارم کتاب Galois Theory

دو نسخه اول تئوری گالوا از مد آن زمان پیروی می‌کرد که کلیت و انتزاع را ترجیح می‌داد. اما شیوه‌های آموزشی تغییر می‌کند و در بسیاری از مؤسسات، ارائه ریاضیات به سمت مثال‌های خاص و ترجیح ارائه‌های ملموس‌تر برگشت.

از آنجایی که هر دو رویکرد ارزشمند هستند، داستان در این نسخه‌ها با چندجمله‌ای بر روی اعداد مختلط شروع می‌شود، و تلاش اصلی این است که بفهمیم چه زمانی چنین چندجمله‌ای راه‌حل‌هایی دارند که می‌توانند با رادیکال‌ها بیان شوند| عبارات جبری که شامل هیچ چیز پیچیده‌تر از ریشه‌های n نمی‌شود.

تنها پس از کامل شدن این داستان، تلاش جدی برای تعمیم نظریه به حوزه‌های دلخواه، و بهره‌برداری از زبان و الگو‌های فکری حلقه‌ها، آرمان‌ها و ماژول‌ها صورت می‌گیرد.

ویرایش پنجم کتاب Galois Theory

مسأله اصلی این بود که آیا باید تصمیم گرفته شده در ویرایش سوم را معکوس کرد یا خیر: قبل از معرفی یک نسخه انتزاعی ظریف‌تر، با یک درمان مشخص شروع کنیم.

پس از مشورت گسترده|یازده داور متخصص، گاهی با نظرات متفاوت|تصمیم گرفتم که هیچ تغییر قابل توجهی در ساختار کلی ایجاد نکنم. با این حال، تا آنجا که ممکن است، سعی کردم تقریباً در مورد هر چیز دیگری از توصیه‌های آن‌ها پیروی کنم.

من نماد را به روز کرده‌ام، تغییرات اصلی L=K به جای L: K برای یک پسوند میدان، و Fq به جای GF(q) برای میدان محدود با عناصر q است. مراجع به روز شده‌اند، اشتباهات املایی شناخته شده تصحیح شده‌اند و تمام ارقام ریاضی دوباره ترسیم شده‌اند.

فصل ۷ کتاب Galois Theory، دوباره سازماندهی شده است و یک شکاف کوچک پر شده است.

من چندین مثال دیگر را به فصل ۱۳ کتاب Galois Theory اضافه کرده‌ام که گروه‌های Galois را برای چندجمله‌ای‌های مختلف محاسبه می‌کند و از طریق جزئیات مکاتبات Galois کار می‌کند.

برخی از نتایج استانداردی که قبلاً حذف شده بودند، اکنون گنجانده شده‌اند، به‌ویژه قضیه عنصر اولیه و ساخت جبری بسته شدن یک میدان.

من اثبات غیرقابل تقلیل بودن چندجمله‌های سیکلوتومیک را ساده کرده‌ام و اثباتی را وارد کرده‌ام که یک گروه ساده منحصربه‌فرد از مرتبه ۶۰ وجود دارد که تنها از روش‌هایی استفاده می‌کند که گالوا ممکن است بداند، یعنی از قضیه سایلو استفاده نمی‌کند.

من همچنین در کتاب Galois Theory، یک فصل پایانی جدید را در مورد جهت‌های دیگری که نظریه گالوا در آن‌ها توسعه یافته است، اضافه کرده‌ام: مسأله گالوای معکوس، نظریه گالوای دیفرانسیل، و مقدمه‌ای (بسیار) مختصر برای بازنمایی‌های گالوای p-adic.

من برخی از اظهارات تاریخی را کوتاه کرده‌ام، در حالی که دیدگاه تاریخی را که اکثر منتقدان جذاب میدانستند، حفظ کرده‌ام. من همچنین مطالب اضافی در مورد شخصیت‌های کلیدی غیر از گالوا آورده‌ام: عمر خیام، واندرموند، روفینی، و آبل. من تمرین‌های جدیدی اضافه کرده‌ام تا دانش‌آموزان را تشویق کنم تا‌ایده‌های خود را توسعه دهند و نه صرفاً مطالب از پیش آماده شده را یاد بگیرند. برخی از آن‌ها به یک بسته جبر کامپیوتری نیاز دارند|هر یک از موارد استاندارد کافی است.

دانشگاه وارویک‌یان استوارت کاونتری، بریتانیا، می‌۲۰۲۲

سرفصل‌های کتاب Galois Theory:

• Cover
• Half Title
• Title Page
• Copyright Page
• Dedication
• Contents
• Acknowledgements
• Preface to the Fifth Edition
• Historical Introduction
• 1. Classical Algebra
• 2. The Fundamental Theorem of Algebra
• 3. Factorisation of Polynomials
• 4. Field Extensions
• 5. Simple Extensions
• 6. The Degree of an Extension
• 7. Ruler-and-Compass Constructions
• 8. The Idea behind Galois Theory
• 9. Normality and Separability
• 10. Counting Principles
• 11. Field Automorphisms
• 12. The Galois Correspondence
• 13. Worked Examples
• 14. Solubility and Simplicity
• 15. Solution by Radicals
• 16. Abstract Rings and Fields
• 17. Abstract Field Extensions and Galois Groups
• 18. The General Polynomial Equation
• 19. Finite Fields
• 20. Regular Polygons
• 21. Circle Division
• 22. Calculating Galois Groups
• 23. Algebraically Closed Fields
• 24. Transcendental Numbers
• 25. What Did Galois Do or Know?
• 26. Further Directions
• References
• Index

جهت دانلود کتاب Galois Theory می‌توانید پس از پرداخت، دریافت کنید.